¿Por qué menos por menos es más?

¿Por qué menos por menos es más? Esta frase fundamental es un tótem y tabú sería cuestionar su universal validez. Sin embargo, ¿nos hemos parado alguna vez a reflexionar sobre ella? Todo enunciado matemático tiene su demostración, y nos gusta, cuando avanzamos en los conocimientos científicos, poder ver la historia que está detrás, el recorrido que ha sido preciso realizar hasta poder enunciar esa verdad, desde la curiosidad o necesidad del principio, pasando por el trabajo, la investigación y la lógica, hasta la demostración y certeza final. 

Hay ciertos aspectos, en cambio, que hemos aceptado sin más y no nos cuestionamos. La multiplicación con números negativos se enseña pronto en la escuela y, para entenderla, nos suele bastar con acudir al ejemplo de las deudas, y así poder ver que no nos han engañado. Efectivamente, más por menos es menos, ya que tener tres deudas de mil euros es deber tres mil euros:  3*(-1000)=-3000.

Sin embargo, ¿cómo se pueden tener -3 deudas? ¿Y cómo, en caso de que se tengan, puede eso suponer un aumento en nuestro bolsillo? La razón por la que menos por menos es más suele escapar, al principio, de nuestro conocimiento y del ejemplo de las deudas. La demostración es muy simple, pero puede no ser evidente en un primer momento. 

Para demostrar cualquier proposición en matemáticas hay que emplear deducciones lógicas a partir de proposiciones anteriores ya demostradas y a partir de premisas aceptadas sin demostración. 

En concreto, dejando de lado otras demostraciones más extensas y completas, para demostrar que menos por menos es más, se trata de demostrar que:

(-a)*(-b) > 0

Siendo a y b dos números reales cualesquiera mayores que cero, por lo que –a y -b serán, por fuerza, números negativos.

a - a = 0

a*(-b) - a*(-b) = 0

a*(-b) + (-a)*(-b) = 0

(-a)*b + (-a)*(-b) = 0

-a*b + (-a)*(-b) = 0

 (-a)*(-b) = a*b 
(-a)*(-b) > 0

Para poder efectuar esta demostración hemos tenido que partir de una serie de principios, entre otros, hemos aceptado que a*(-b) = (-a)*b, que es lo que se conoce como propiedad conmutativa, y hemos aceptado también que a*b > 0, es decir, que más por más es más.

Se puede realizar el mismo proceso utilizando números concretos. Por ejemplo, podemos tratar de demostrar que:

 (-2)*(-5) = 10 

Comenzamos la demostración:

2 - 2 = 0

Multiplicamos ambos términos de la igualdad por -5

2*(-5)-2*(-5) = 0*(-5) 

Sabemos que 0 por -5 es 0

2*(-5) - 2*(-5) = 0

2*(-5) + (-2)*(-5) = 0

Aplicamos la propiedad conmutativa, es decir, 2*(-5) = (-2)*5

(-2)*5 + (-2)*(-5) = 0

-2*5 + (-2)*(-5) = 0

     Sumamos 2*5 a los dos términos de la igualdad

-2*5 + (-2)*(-5) + 2*5= 2*5

  Tenemos en cuenta que -2*5+2*5 = 0

(-2)*(-5) = 2 * 5

(-2)*(-5) = 10

Por lo que, como se ha visto, no hemos vivido engañados y podemos estar tranquilos cuando realizamos cálculos, diciéndonos sin problemas que ¡MENOS POR MENOS ES MÁS!