¿Por qué menos por menos es más? Esta frase fundamental es
un tótem y tabú sería cuestionar su universal validez. Sin embargo, ¿nos hemos
parado alguna vez a reflexionar sobre ella? Todo enunciado matemático tiene su
demostración, y nos gusta, cuando avanzamos en los conocimientos científicos, poder
ver la historia que está detrás, el recorrido que ha sido preciso realizar
hasta poder enunciar esa verdad, desde la curiosidad o necesidad del principio,
pasando por el trabajo, la investigación y la lógica, hasta la demostración y certeza
final.
Hay ciertos aspectos, en cambio, que hemos aceptado sin más
y no nos cuestionamos. La multiplicación con números negativos se enseña pronto
en la escuela y, para entenderla, nos suele bastar con acudir al ejemplo de las
deudas, y así poder ver que no nos han engañado. Efectivamente, más por menos
es menos, ya que tener tres deudas de mil euros es deber tres mil euros: 3*(-1000)=-3000.
Sin embargo, ¿cómo se pueden tener -3
deudas? ¿Y cómo, en caso de que se tengan, puede eso suponer un aumento en
nuestro bolsillo? La razón por la que menos por menos es más suele escapar, al
principio, de nuestro conocimiento y del ejemplo de las deudas. La demostración
es muy simple, pero puede no ser evidente en un primer momento.
Para demostrar cualquier proposición en
matemáticas hay que emplear deducciones lógicas a partir de proposiciones anteriores
ya demostradas y a partir de premisas aceptadas sin demostración.
En concreto, dejando de lado otras
demostraciones más extensas y completas, para demostrar que menos por menos es
más, se trata de demostrar que:
(-a)*(-b) > 0
Siendo a y b dos números reales cualesquiera
mayores que cero, por lo que –a y -b serán, por fuerza, números negativos.
a - a = 0
a*(-b) - a*(-b) = 0
a*(-b) + (-a)*(-b) = 0
(-a)*b + (-a)*(-b) = 0
-a*b + (-a)*(-b) = 0
(-a)*(-b) = a*b
(-a)*(-b) > 0
(-a)*(-b) > 0
Para poder efectuar esta demostración
hemos tenido que partir de una serie de principios, entre otros, hemos aceptado
que a*(-b) = (-a)*b, que es lo que se conoce
como propiedad conmutativa, y hemos aceptado también que a*b > 0, es decir, que más por
más es más.
Se puede realizar el mismo proceso
utilizando números concretos. Por ejemplo, podemos tratar de demostrar que:
(-2)*(-5) = 10
Comenzamos la demostración:
2 - 2 = 0
Multiplicamos
ambos términos de la igualdad por -5
2*(-5)-2*(-5) = 0*(-5)
Sabemos que 0 por -5 es 0
2*(-5) - 2*(-5) = 0
2*(-5) + (-2)*(-5) = 0
Aplicamos
la propiedad conmutativa, es decir, 2*(-5) = (-2)*5
(-2)*5 + (-2)*(-5) = 0
-2*5 + (-2)*(-5) = 0
Sumamos 2*5 a los dos términos de la igualdad
-2*5 + (-2)*(-5) + 2*5= 2*5
Tenemos
en cuenta que -2*5+2*5 = 0
(-2)*(-5) = 2 * 5
(-2)*(-5) = 10
Por lo que, como se ha visto, no hemos
vivido engañados y podemos estar tranquilos cuando realizamos cálculos, diciéndonos
sin problemas que ¡MENOS POR MENOS ES MÁS!
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