La Batalla de Urgull: El ataque por tangentes

Urgull es el nombre de un monte apasionante que hay en San Sebastián. En su cima, entre el océano, el cielo y la ciudad, se alza el Castillo de la Mota, desde donde, con sus cañones, se defendía el puerto y vigilaba la bahía. 

Supongamos que en el pasado, como pudo suceder, un barco pirata hubiera decidido atacar el Castillo. Para ello hubiera sido imprescindible que el capitán pirata conociese la altura exacta del monte y la localización de sus baterías. Pero, ¿cómo hubiera podido este capitán pirata obtener estos datos desde su propio barco? ¿Cómo saber la altura del monte sin siquiera poder acercarse a él? 

El capitán pirata, que ya lo ha pensado, ha encontrado un método para ello: usar los triángulos y las razones trigonométricas, que es una forma rápida y segura para calcular alturas. 

Para entender el método del capitán pirata hay que comprender primero dos conceptos fundamentales: ¿Qué es un triángulo rectángulo? y ¿Qué es la tangente de un ángulo?

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, de 90º.

Los dos lados del triángulo rectángulo que componen el ángulo recto se llaman catetos. En la figura, los catetos son los lados a y b. El otro lado, el c, que es el más largo de los tres, se llama hipotenusa.

Estos triángulos han sido muy estudiados y en ellos se puede aplicar, por ejemplo, el famosísimo Teorema de Pitágoras.

¿Qué es la tangente de un ángulo?

La tangente de un ángulo es una razón trigonométrica. En la figura anterior, la tangente del ángulo A es  la división a/b. Es decir, la tangente de A es la longitud del cateto opuesto a A (cateto a) entre la longitud del cateto contiguo a A (cateto b). Se expresa así: 

tan A = a/b

La tangente de un ángulo es un valor invariable para ese ángulo y se puede conocer, bien porque se sepa de memoria, bien consultando una calculadora, internet, o algún libro de matemáticas. Por ejemplo, la tangente de 45º es siempre 1. La tangente de 60º es siempre 1,732. Esto hace que si sabemos el valor de un ángulo de un triángulo rectángulo y la longitud de uno de los catetos, podamos conocer muy fácilmente la longitud del otro cateto. 

Por ejemplo, en la figura, si queremos conocer cuál es la longitud de v, hacemos lo siguiente:

tan 50 = 17/v

v= 17/tan50

Sabemos, porque lo hemos consultado, que tan 50 = 1,19, por lo que v=17/1,19=14,29

Una vez sabido esto, veamos qué hace el capitán pirata para calcular la altura a la que se encuentra el Castillo de la Mota, es decir, cuál es la altura h a la que está el punto P.

El capitán pirata decide anotar el ángulo bajo el que ve el Castillo desde su barco, según se acerca al monte Urgull en línea recta. Desde el punto A el capitán ve el Castillo bajo un ángulo de 6,1049º, y después de acercarse 50 metros hacia el Castillo lo ve bajo un ángulo de 6,3802º. El capitán mira en sus tablas y descubre que:

tan 6,1049=0,10696

tan 6,3802=0,1118

Conociendo esto, el capitán pirata decide hacer los siguientes cálculos:

tan 6,1049= h/(50+x) =0,10696

tan 6,3802= h/x = 0,1118

Teniendo estas dos ecuaciones con dos incógnitas (h, x), solo se trata de resolverlas:

h=0,1118*x   

(0,1118*x)/(50+x)=0,10696

x=1105 metros

h=0,1118*1105=123 metros

Por lo tanto, el capitán pirata acaba de descubrir, de una forma muy rápida y sobre todo, manteniéndose prudentemente alejado del Castillo, cuanto mide éste (123 metros) y a que distancia está con exactitud (1105 metros desde B). 

Este método que se acaba de exponer es un método empleado para calcular alturas y distancias y tiene muchas aplicaciones. 

Sin embargo, no debería confiarse el capitán pirata, porque los defensores del Castillo de la Mota también tienen sus sistemas de defensa…